Question

已知函數f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實數m的取值范圍以及函數g（x）取得極值時對應的自變量x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（2）=0和f′（2）=5可得關于b，c的兩個方程，解出b，c即可．
（2）轉化為g′（x）=0有實根．根據判別式求出對應的根，在找極值即可．
解答：解：（1）由已知，切點為（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
聯立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函數解析式為f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+mx，
g′（x）=3x²-4x+1+，令g′（x）=0．
當函數有極值時，△≥0，方程3x²-4x+1+=0有實根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①當m=1時，g′（x）=0有實根x=，在x=左右兩側均有g′（x）＞0，故函數g（x）無極值．
②當m＜1時，g′（x）=0有兩個實根，
x₁=（2-），x₂=（2+），
當x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：
故在m∈（-∞，1）時，函數g（x）有極值；
當x=（2-）時g（x）有極大值；
當x=（2+）時g（x）有極小值．
點評：本題考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．