Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BCE
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積；
（Ⅲ）設M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（I）證明AE⊥BC，BF⊥AE，可證AE⊥平面BCE，由面面垂直的判定定理證明平面ADE⊥平面BCE；
（II）由（I）知AE⊥EB，又AE=EB=BC=2，AB=2

2

，取AB的中點O，連接OE，可證OE為四棱錐E-ABCD的高，OE=

2

，代入體積公式計算；
（III）線段CE上確定一點N，使EN=2NC，連接MN，過N作NG∥BC，交EB于G，連接MG，證明NG、MG分別平行于平面ADE，可得平面ADE∥平面MNG，由面面平行得MN∥平面ADE．

解答：解：（I）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE，
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCE；
（II）由（I）知AE⊥EB，又AE=EB=BC=2，
∴AB=2

2

，取AB的中點O，連接OE，∴OE⊥AB，
∴OE為四棱錐E-ABCD的高，OE=

2

，
∴V_E-ABCD=

1

3

×2

2

×2×

2

=

8

3

；
（III）線段CE上確定一點N，使EN=2NC，連接MN，
過N作NG∥BC，交EB于G，連接MG，又AD∥BC，
∴NG∥AD，NG?平面ADE，AD?平面ADE
∴NG∥平面ADE，
∵EN=2NC，∴EG=2GB，又AM=2MB，
∴MG∥AE，AE?平面ADE，MG?平面ADE，
∴MG∥平面ADE，
又NG∩MG=G，
∴平面ADE∥平面MNG，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE．

點評：本題考查了面面垂直的判定，線面平行的判定及棱錐的體積計算，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力，解答本題的關鍵是利用線線，線面，面面的平行、垂直關系的轉化來證明平行、垂直關系．