Question

（本小題滿分15分）

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數；

（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

 

 

（Ⅰ） ，     …………………………………  2分

由題意知時，，即：，

∴                 ……………………………………  3分

∴ ，

令，可得

令，可得

令，可得

∴ 在上是增函數，在上是減函數，……  6分

（Ⅱ），

∵，   ∴ ，

 ∴ ，   …………………………………………  7分

① 若，則恒成立，此時在上是增函數，

     ……………………………… 9分

② 若，則恒成立，此時在上是減函數，

         ………………………  11分

③ 若，則令可得

∵是減函數，∴當時，當時

∴在 上左增右減，

∴，   …………………………………  13分

綜上： 

 

【解析】略