Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）求DB與平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD內是否存在一點G，使G在平面PCB上的射影為△PCB的外心，若存在，試確定點G的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），設PD=DC=1
則D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、、、P（0，0，1）．
（1）∵，
∴
∴EF⊥CD
（2）設平面DEF的法向量為．
由得即
令x=1，則y=-2，z=1．
∴，又=（1，1，0）
設DB與平面DEF所成角為θ，
則sinθ=|cos＜，＞|=
（3）∵△PCB為直角三角形，C=90°，∴G在平面PCB上的射影為△PCB的外心即為PB中點F，
G在平面PCB上的射影為△PCB的外心即GF⊥平面PCB
設G（m，0，n），則G∈平面PAD．
∴．又=（1，0，0），=（0，-1，1）
由，得．由，得n=0．
∴G點坐標為，
即G為AD中點時，GF⊥平面PCB
∴存在一點G為AD中點時，使G在平面PCB上的射影為△PCB的外心
分析：先以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設出相關點的坐標，
（1）寫出直線EF的方向向量和CD的方向向量，求兩個向量的數量積，由數量積為0，即可證明兩直線垂直；
（2）先求平面DEF的法向量，再求斜線DB的方向向量，最后求這兩個向量的夾角的余弦值，此值的絕對值即為所求線面角的正弦值；
（3）先證明點F即為△PCB的外心，從而將問題轉化為在平面PAD內是否存在一點G，使GF⊥平面PCB，設G（m，0，n），利用線面垂直的定義，列方程即可解得m、n的值，從而判斷G的位置
點評：本題主要考查了線面垂直的判定和性質，直線與平面所成角的求法，空間直角坐標系和空間向量在解決立體幾何問題中的應用，有一定的難度