Question

（理）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=1上的點，則|PM|-|PN|的最大值為（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

Answer 1

【答案】分析：先求出雙曲線的兩個焦點，則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，利用雙曲線的定義分別求得|PM|和|PN|，進而可求得此時|PM|-|PN|的值．
解答：解：設雙曲線的兩個焦點分別是F₁（-5，0）與F₂（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，
當且僅當點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，此時
|PM|-|PN|
=（|PF₁|+1）-（|PF₂|-1）=（|PF₁|-|PF₂|）+2
根據雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a=6
∴|PM|-|PN|=（|PF₁|-|PF₂|）+2=8
即|PM|-|PN|的最大值為8
故選D
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質和雙曲線與圓的關系，屬于中檔題．著重考查了學生對雙曲線定義的理解和應用，以及對幾何圖形的認識能力．