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如圖,在五面體EF-ABCD中,四邊形ADEF是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=l,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.
①求異面直線CE與AF所成角的余弦值;
②證明:CD⊥平面ABF;
③求二面角B-EF-A的正切值.

【答案】分析:(Ⅰ)先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點E,得到的銳角或直角就是異面直線所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.
(Ⅱ)根據(jù)線面垂直的判定定理可知,只需證直線CD與面ABF中的兩條相交直線垂直即可;
(Ⅲ)先作出二面角的平面角,再在直角三角形中求出此角即可.
解答:(Ⅰ)解:因為四邊形ADEF是正方形,所以FA∥ED.
故∠CED為異面直線CE與AF所成的角.
因為FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=
CE==3,故cos∠CED==
所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為

(Ⅱ)證明:過點B作BG∥CD,交AD于點G,
則∠BGA=∠CDA=45°.由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,
從而CD⊥AB,又CD⊥FA,F(xiàn)A∩AB=A,所以CD⊥平面ABF;

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得AG=,即G為AD的中點.
取EF的中點N,連接GN,則GN⊥EF,
因為BC∥AD,所以BC∥EF.
過點N作NM⊥EF,交BC于M,
則∠GNM為二面角B-EF-A的平面角.
連接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM.
從而BC⊥GM.由已知,可得GM=
由NG∥FA,F(xiàn)A⊥GM,得NG⊥GM.
在Rt△NGM中,tan
所以二面角B-EF-A的正切值為
點評:本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,運算能力和推理論證能力.
練習(xí)冊系列答案
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2
,∠BAD=∠CDA=45°.
①求異面直線CE與AF所成角的余弦值;
②證明:CD⊥平面ABF;
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2
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①求異面直線CE與AF所成角的余弦值;
②證明:CD⊥平面ABF;
③求二面角B-EF-A的正切值.

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