Question

已知雙曲線的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一條漸近線方程，右焦點F（5，0），雙曲線的實軸為A₁A₂，P為雙曲線上一點（不同于A₁，A₂），直線A₁P、A₂P分別與直線l：交于M、N兩點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）求證：•為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設雙曲線方程為：，根據題意可得關于a、b的方程組，解可得答案；
（Ⅱ）根據題意，易得A₁、A₂、F的坐標，設P（x，y）、M（），易得向量，，又由共線向量的坐標運算，可得M的坐標，進而可得N的坐標，
由此可得：與的坐標，即可得；結合雙曲線的方程，代換可得證明．
解答：解：（Ⅰ）依題意可設雙曲線方程為：，
則
∴所求雙曲線方程為

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），設P（x，y），M（），
，，
∵A₁、P、M三點共線，
∴∴即，
同理得，
，，
則
∵，
∴；
∴，即（定值）
點評：本題考查雙曲線的有關性質，（Ⅱ）的證明運用了坐標法，結合向量的數量積的運算，是典型的解析幾何方法，需要加強訓練．