Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁為單位正方體，黑白兩只螞蟻從點A出發沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，白螞蟻爬行的路線是AA₁→A₁D₁→…，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB₁→…，它們都遵循如下規則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是自然數），設黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩只螞蟻的距離是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據題意，先通過前幾步爬行，觀察黑螞蟻與白螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬6步回到起點，周期為6．再計算黑螞蟻爬完2012段后實質是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2012段后實質是到達哪個點，最后計算出它們的距離即可．
解答：解：由題意，白螞蟻爬行路線為AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，
即過6段后又回到起點，可以看作以6為周期，
同理，黑螞蟻也是過6段后又回到起點．
而2012除以6等于335余2
所以黑螞蟻爬完2012段后回到B₁點，
同理，白螞蟻爬完2012段后到回到D₁點；
所以它們此時的距離為：B₁D₁=．
故答案為；  ．
點評：本題以一個創新例子為載體，考查歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關知識，屬于中檔題目．