Question

下面命題正確的是    ．
①存在實數α，使sinαcosα=1；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；
③在△ABC中，若sinAsinB＞cosAcosB，則這個三角形是銳角三角形；
④函數y=cos²x+sinx的最小值是-1；
⑤若cosθ＜0且sinθ＞0，則是第一象限角．

Answer 1

【答案】分析：①sinαcosα利用二倍角的正弦函數公式化簡，根據正弦函數的值域得到sinαcosα的范圍，根據范圍得到其值不能等于1，本選項錯誤；
②由α，β是第一象限角，可找兩個角且α＞β，但是tanα＜tanβ，利用反例可說明本選項錯誤；
③把已知的不等式移項后，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，根據A和B為三角形的內角，可得出A+B為鈍角，從而得到C為銳角，但是A和B不一定為銳角，故此三角形不一定為銳角三角形，本選項錯誤；
④把函數利用同角三角函數間的基本關系化為關于sinx的二次函數，根據sinx的值域，利用二次函數的性質可求出函數的最小值，即可作出判斷；
⑤根據題意得出sinθ與cosθ異號，得出θ為第二或第四象限角，進而得到是第一或第四象限角，本選項錯誤．
解答：解：①∵sinαcosα=sin2α，且sin2α∈[-1，1]，
∴sinαcosα∈[-，]，
則不存在實數α，使sinαcosα=1，本選項錯誤；
②若α，β是第一象限角，令α=，β=，
滿足α＞β，但是tanα=tan（2π+）=tan=，tanβ=，
即tanα＜tanβ，本選項錯誤；
③sinAsinB＞cosAcosB，變形得：cosAcosB-sinAsinB＜0，
即cos（A+B）＜0，又A和B都為三角形的內角，
∴A+B∈（，π），即C為銳角，
但三角形不一定為銳角三角形，本選項錯誤；
④函數y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-）²+，
又-1≤sinx≤1，
則當sinx=-1時，函數有最小值，最小值為-1，本選項正確；
⑤由cosθ＜0且sinθ＞0，得到θ為第二或四象限，
則為第一象限或第四象限，本選項錯誤，
則正確的選項為④．
故答案為：④
點評：此題考查了二倍角的正弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，正弦函數的值域，二次函數的性質，三角函數在各象限的符號，以及同角三角函數間的基本關系，綜合性比較強，要求學生掌握知識要全面．