Question

實數列a₁，a₂，…a_n，…滿足a_n+1=a_n（a_n+2）．
問：（1）如果a₁=2，求a_n；
（2）求a₂₀₀₉的取值構成的集合．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n（a_n+2），通過配方可以構造{a_n+1}，從而可以求出a_n
（2）由（1）可得a_n+1的范圍，從而求得a₂₀₀₉的范圍．

解答：解：（1）由題意有a_n+1+1=（a_n+1）²，設b_n=a_n+1，
則有b_n+1=b_n²，從而可得bn=

b

2n-1 1

．
而b₁=a₁+1=3，因此bn=32n-1，
從而an=bn-1=32n-1-1．
（2）由（1）得：b2009=

b

22008 1

，
于是，b₂₀₀₉≥0，即a₂₀₀₉≥-1．
所以a₂₀₀₉的取值集合為{x|x≥-1}．

點評：本題是個中檔題，考查了配方法構造數列和求數列通項的方法，最后注意結的形式．