Question

(本小題滿分12分)
已知數列和滿足：,其中為實數，為正整數．
（1）對任意實數，證明數列不是等比數列；
（2）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；
（3）設,為數列的前項和．是否存在實數，使得對任意正整數，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）。

解析試題分析：（1）證明：假設存在一個實數，使｛｝是等比數列， 則有,即矛盾．
所以｛｝不是等比數列．
(2)解：因為
又，所以
當，，此時
當時，， ，
此時，數列｛｝是以為首項，為公比的等比數列．
∴
(3)要使對任意正整數成立，
即
得（1）  
令，則當為正奇數時，
∴的最大值為, 的最小值為,
于是，由（1）式得
當時，由，不存在實數滿足題目要求
當存在實數，使得對任意正整數，都有,且的取值范圍是。
考點：本題考查等比數列的簡單性質。
點評：本題屬于數列綜合運用題，考查了由所給的遞推關系證明數列的性質，對所給的遞推關系進行研究求數列的遞推公式以及利用數列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數的取值范圍，難度較大，綜合性很強，對答題者探究的意識與探究規律的能力要求較高，是一道能力型題．