Question

拋物線C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），曲線C₂與C₁關于點（-1，1）對稱．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）過點（8，0）的直線l交曲線C₂于M、N兩點，問在坐標平面上能否找到某個定點Q，不論直線l如何變化，總有∠MQN=90°．若找不到，請說明理由；若能找到，寫出滿足要求的所有的點Q的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），由曲線C₂與C₁關于點（-1，1）對稱．設拋物線C₁上任意一點（x，y）在曲線C₂上的對稱點為M（m，n），則有：

x+m

2

=-1，

y+n

2

=1，由此能求出C₂的方程．
（Ⅱ）設過點（8，0）的直線l的方程為y=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y2=8x y=k(x-8)

，得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，由此解得x₁x₂+y₁y₂=0．所以在坐標平面上能定點Q（0，0），不論直線l如何變化，總有∠MQN=90°．

解答：解：（Ⅰ）拋物線C₁的方程是（y-2）²=-8（x+2），
∵曲線C₂與C₁關于點（-1，1）對稱．
設拋物線C₁上任意一點（x，y）在曲線C₂上的對稱點為M（m，n），
則有：

x+m

2

=-1，

y+n

2

=1，
整理可得：x=-（2+m）；y=2-n，代入拋物線C₁得：
（2-n-2）²=-8（-2-m+2），
整理得：（-n）²=-8（-m），
n²=8m，
因此C₂的方程是y²=8x．
（Ⅱ）存在，僅一點（0，0）．
設過點（8，0）的直線l的方程為y=k（x-8），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y2=8x y=k(x-8)

，得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
∴x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，
∴y₁y₂=（kx₁-8k）（kx₂-8k）
=k2x1x2-8kx2-8kx1+64k2
=-64，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴在坐標平面上能定點Q（0，0），不論直線l如何變化，總有∠MQN=90°．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足要求的所有的點Q的坐標的求示．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．