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已知函數是定義在上的奇函數,當時, (其中e是自然界對數的底,)

(Ⅰ)設,求證:當時,

(Ⅱ)是否存在實數a,使得當時,的最小值是3 ?如果存在,求出實數a的值;如果不存在,請說明理由。

 

【答案】

 (Ⅰ)見解析;(Ⅱ)存在,

【解析】

試題分析:(Ⅰ)根據已知條件和奇函數的定義與性質,先求出函數在整個定義域的解析式,再由的關系列不等式,由函數的單調性和導數的關系解不等式即可;(Ⅱ)首先假設這樣的存在,然后根據函數的單調性和導數的關系判斷函數的單調性找到最小值,注意解題過程中要對參數進行討論,不能漏解.

試題解析:(Ⅰ)設,則,所以,

又因為是定義在上的奇函數,所以

故函數的解析式為  ,            2分

證明:當時,,設,

因為,所以當時,,此時單調遞減;當時,,此時單調遞增,所以,

  又因為,所以當時,,此時單調遞減,所以,

所以當時, ;              4分

(Ⅱ)解:假設存在實數,使得當時,有最小值是3,則                    ..5分

(ⅰ)當時,在區間上單調遞增,,不滿足最小值是3,            6分

(ⅱ)當時,在區間上單調遞增,,也不滿足最小值是3,             7分

(ⅲ)當,由于,則,故函數 是上的增函數.

所以,解得(舍去).       8分

(ⅳ)當時,則

時,,此時函數是減函數;

時,,此時函數是增函數.

所以,解得.

綜上可知,存在實數,使得當時,有最小值3.             10分

考點:函數的單調性與導數的關系,利用導數求函數的極值.

 

練習冊系列答案
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(1)確定函數的解析式;

(2)判斷并證明的單調性;

(3)解不等式

 

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