Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞0），在同一周期內，當時，f（x）取得最大值3；當時，f（x）取得最小值﹣3．

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞減區間；

（Ⅲ）若時，函數h（x）=2f（x）+1﹣m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：

正弦函數的單調性；根的存在性及根的個數判斷；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．

專題：

三角函數的圖像與性質．

分析：

（Ⅰ）由題意可得A=3，根據周期T=2（ ）=，求得ω=2．由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ的值，從而求得函數的解析式．

（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區間．

（Ⅲ）函數y=sin（2x+）的圖象和直線y=在上有2個交點，再由 2x+∈[﹣，]，y=sin（2x+）的圖象可得 ∈[，1），由此求得實數m的取值范圍．

解答：

解：（Ⅰ）由題意可得A=3，周期T=2（ ）=，∴ω=2．

由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ=，故函數f（x）=3sin（2x+）．

（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

 故函數的減區間為[kπ+，kπ+]，k∈z．

（Ⅲ）∵時，函數h（x）=2f（x）+1﹣m有兩個零點，故 sin（2x+）= 有2個實數根．

即函數y=sin（2x+）的圖象和直線y= 有2個交點．

再由 2x+∈[﹣，]，結合函數y=sin（2x+）的圖象可得 ∈[，1），解得 m∈[3+1，7），

即 實數m的取值范圍是[3+1，7）．

點評：

本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數的定義域和值域，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．