Question

（2008•湖北模擬）已知函數f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）將函數f（x）的圖象按向量

a

=(m，0)平移，使得平移之后的圖象關于直線x=

π

2

對稱，求m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式第一項的第二個因式利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，去括號合并后，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調遞減區間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數f（x）的單調遞減區間；
（2）由（1）得出的函數解析式，根據平移的規律及

a

的坐標，找出平移后函數的解析式，根據平移后函數關于直線x=

π

2

對稱，把x=

π

2

代入函數解析式，并令其值等于kπ+

π

2

，化簡表示出m，可得出k=0時，m取得最小值，把k=0代入表示出的m即可求出m的最小值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+

3

cos2x-

3

sin2x+sincosx
=sin2x+

3

cos2x（3分）
=2sin（2x+

π

3

），（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z，得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7

12

π，k∈Z（6分）
故函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；（7分）
（2）由（1）得到函數y=2sin（2x+

π

3

），
此函數按向量

a

=(m，0)平移得到解析式為y=2sin（2x+

π

3

-2m），（8分）
∵y=2sin（2x+

π

3

-2m)的圖象關于直線x=

π

2

關于直線x=

π

2

對稱，
∴2•

π

2

+

π

3

-2m=kπ+

π

2

（k∈Z）
∴m=-

1

2

(k-1)π-

π

12

（k∈Z）（10分）
當k=0時，m的最小正值為

5

12

π．（12分）

點評：此題考查了三角函數的恒等變換，以及平移的規律，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的圖象與變換，以及正弦函數的對稱性，其中利用三角函數的恒等變換把函數解析式化為一個角的三角函數是解本題的關鍵．