Question

已知數(shù)列單調(diào)遞增，且各項(xiàng)非負(fù)，對(duì)于正整數(shù)，若任意的，（≤≤≤），仍是中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“項(xiàng)可減數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，且數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)
列”，試確定的最大值；
（2）求證：若數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”，則其前項(xiàng)的和；
（3）已知是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列，寫出（2）的逆命題，判斷該逆命題的真假，
并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）2 （2）．    （3）（2）的逆命題為：已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列，若其前項(xiàng)的和滿足，則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”，該逆命題為真命題．

(1)根據(jù)題意可知，
易得，即數(shù)列一定是“2項(xiàng)可減數(shù)列”.
（2）因?yàn)閿?shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”，
所以必定是數(shù)列中的項(xiàng).
而是遞增數(shù)列，故，
所以必有，，
是解決本小題的關(guān)鍵.
(3) 的逆命題為：
已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列，若其前項(xiàng)的和滿足，
則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”，該逆命題為真命題．
證明要注意利用≤≤,求出的通項(xiàng)公式.
（1）設(shè)，則，
易得，即數(shù)列一定是“2項(xiàng)可減數(shù)列”，
但因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213148962578.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的最大值為2． ………………5分
（2）因?yàn)閿?shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”，
所以必定是數(shù)列中的項(xiàng)， ………………………7分
而是遞增數(shù)列，故，
所以必有，，
則
，
所以，即．
又由定義知，數(shù)列也是“項(xiàng)可減數(shù)列”，
所以．      ……………………………10分
（3）（2）的逆命題為：
已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列，若其前項(xiàng)的和滿足，
則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”，該逆命題為真命題．……………………12分
理由如下：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213148431689.png" style="vertical-align:middle;" />≤≤，所以當(dāng)≥時(shí)，，
兩式相減，得，即 （）
則當(dāng)時(shí)，有（）
由（）－（），得，
又，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增等差數(shù)列．
設(shè)公差為，則，
對(duì)于任意的≤≤≤，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213146513206.png" style="vertical-align:middle;" />≤，所以仍是中的項(xiàng)，
故數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”．