Question

由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現決定向河中投入固體堿．1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y（個濃度單位）與時間x（個時間單位）的關系為y=

- 24 x+3 -x+8，   0≤x≤ 3 2 23 12 - 1 2 x   ，       3 2 ＜x≤ 23 6

．只有當河流中堿的濃度不低于1（個濃度單位）時，才能對污染產生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？
（2）當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是兩次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數解析式，分別列出不等式，解之，即可求得x的范圍，從而可得能夠維持有效抑制作用的時間；
（2）確定函數y=-

24

(x+3)

-x+8單調遞增，當2＜x≤4時，y=

23

11

-

1

2

x單調遞減，進而可得函數，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）由題意，

- 24 x+3 -x+8≥1 0≤x≤ 3 2

⇒

1≤x≤3 0≤x≤ 3 2

⇒1≤x≤

3

2

--------（2分）

23 12 - 1 2 x≥1 3 2 ＜x≤ 23 6

⇒

3

2

＜x≤

11

6

-------------（4分）
綜上，得1≤x≤

11

6

-------------（5分）
即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時間為

11

6

-1=

5

6

----（6分）
（2）當0≤x≤

3

2

時，y′=

24-(x+3)2

(x+3)2

＞0，所以y=-

24

(x+3)

-x+8單調遞增------（7分）
當2＜x≤4時，y=

23

11

-

1

2

x單調遞減-------------（8分）
所以當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，即x＞

3

2

，
由

0≤x- 3 2 ≤ 3 2 3 2 ＜x≤ 23 6

得

3

2

＜x≤3，當x＞3時，第一、二次投放的固體堿的濃度均在下降（或降為0）．
所以最大濃度發生的時間位于區間(

3

2

，3]---------（9分）
當

3

2

＜x≤3時，y=

23

12

-

1

2

x+[-

24

(x- 3 2 )+3

-(x-

3

2

)+8]------------------（10分）
=-

3

2

(x+

3

2

)-

24

x+ 3 2

+

41

3

≤-12+

41

3

=

5

3

----------（11分）
故當且僅當x+

3

2

=

16

x+ 3 2

，即x=

5

2

時，y有最大值

5

3

．-------------------（12分）

點評：本題考查分段函數，考查解不等式，考查函數的單調性，考查利用基本不等式求函數的最值，確定函數的解析式是關鍵．