Question

過拋物線y²=4x的焦點作傾斜角為

π

3

的直線與拋物線交于點A、B，則|AB|=

16

3

．

Answer 1

分析：求出拋物線的焦點坐標F（1，0），用點斜式設出直線方程：y=

3

(x-1)，與拋物線方程聯解得一個關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系結合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答：解：根據拋物線y²=4x方程得：焦點坐標F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan

π

3

=

3

由直線方程的點斜式方程，設AB：y=

3

(x-1)
將直線方程代入到拋物線方程當中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數的關系得：

x1+x2= 10 3 x1x2=1

所以弦長|AB|=

1+k2

|x1-x2|  =

1+3

(x1+x2) 2-4x1x2

=

16

3

故答案為

16

3

點評：本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于難題．本題運用了直線方程與拋物線方程聯解的方法，對運算的要求較高．利用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式是解決本題的關鍵．