Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在數列{a_n}的每兩項之間都按照如下規則插入一些數后，構成新數列{b_n}，在a_n和a_n+1兩項之間插入n個數，使這n+2個數構成等差數列，求b₂₀₁₂的值；
（3）對于（2）中的數列{b_n}，若b_m=a_n，并求b₁+b₂+b₃+…+b_m（用n表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）2a_n+1-S_n+1=1與2a_n-S_n=1相減，可得數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）設a_n和a_n+1兩項之間插入n個數后，可求得，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，從而可求b₂₀₁₂的值；
（3）依題意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=，考慮到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，則2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1，求出M=（2n-1）2ⁿ+1，即可得到結論．
解答：解：（1）當n=1時，2a₁-S₁=1，∴a₁=1．
又2a_n+1-S_n+1=1與2a_n-S_n=1相減得：a_n+1=2a_n，故數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
所以；…（4分）
（2）設a_n和a_n+1兩項之間插入n個數后，這n+2個數構成的等差數列的公差為d_n，則，
又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，
故．…（9分）
（3）依題意，b₁+b₂+b₃+…+b_m==，
考慮到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，則2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1
∴2M-M=-2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-a₁+（2n+1）a_n+1
∴M=（2n-1）2ⁿ+1，
所以．…（14分）
點評：本題考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，正確理解題意，選擇正確的方法是關鍵．