Question

已知三棱錐P-ABC中，E．F分別是AC．AB的中點，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（1）證明EF∥平面PBC．
（2）證明PC⊥平面PAB；
（3）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（說明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））

Answer 1

（1）證明：∵E，F是AC，AB的中點，∴EF∥BC，
∵BC?平面PBC，EF?平面PBC
∴EF∥平面PBC；
（2）證明：連結CF．


∵PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC?平面PCF，
∴PC⊥AB，
∴PC⊥平面PAB；
（3）∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC為所求二面角的平面角．
設AB=a，則AB=a，則PF=EF=

a

2

，CF=

3

2

a
∴cos∠PFC=

a 2

3 2 a

=

3

3

．