Question

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(2+x)=f(2－x)，

    （1）證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

    （2）若方程f(x)=0有三個根，并且已知x=0的方程的一個根，求方程另外兩個根；

    （3）若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，并且當x∈[0，2]時，f(x)=2x－1，寫出函數(shù)在[－4，0]上的解析式。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明  設P(xo，yo)，是y=f(x)圖象上任一點，則有y=f(xo)。又P(xo，yo)關(guān)于直線x=2的對稱點是P′(4－xo，yo), 　　 ∴f(4－xo)=f[2＋(2－xo)]=f[2－(2－xo)]=f(xo)=yo，     ∴P(4－xo，yo)也在函數(shù)y=f(x)的圖象上。     故y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱。     (2)解  ∵x=0是方程的一個根，∴f(O)=0，     又f(O)=f(2－2)=f(2＋2)=f(4)，     ∴x=4是方程的一個根，     設另一個根為xo，即，f(xo)=0，     由，f(xo)=f[2＋(xo－2)]=f[2－(xo－2)]=f[4－xo]，     可知必有4－xo=xo，即xo=2，     所以方程另二根為x1=2，x2=4。     (3)解  ∵x∈[0，2]時，f(x)=2x－1     又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，∴x∈[2，4]時，f(x)=2(4－x)－1=7－2x，     ∵y=f(x)是偶函數(shù)。     ∴當x∈[－2，0]時，f(x)=2(－x)－1=－2x－1,     當x∈[－4，－2]時，f(x)=7－2(－x)=7＋2x，     故