Question

如圖，A、B、C、D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC=ED．
（Ⅰ）證明：CD∥AB；
（Ⅱ）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：A、B、G、F四點共圓．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據兩條邊相等，得到等腰三角形的兩個底角相等，根據四點共圓，得到四邊形的一個外角等于不相鄰的一個內角，高考等量代換得到兩個角相等，根據根據同位角相等兩直線平行，得到結論．
（II）根據第一問做出的邊和角之間的關系，得到兩個三角形全等，根據全等三角形的對應角相等，根據平行的性質定理，等量代換，得到四邊形的一對對角相等，得到四點共圓．
解答：解：（I）因為EC=ED，
所以∠EDC=∠ECD
因為A，B，C，D四點在同一圓上，
所以∠EDC=∠EBA
故∠ECD=∠EBA，
所以CD∥AB
（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，
因為EF=EG，故∠EFD=∠EGC
從而∠FED=∠GEC
連接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F四點共圓
點評：本題考查圓內接多邊形的性質和判斷，考查兩直線平行的判斷和性質定理，考查三角形全等的判斷和性質，考查四點共圓的判斷，本題是一個基礎題目．