Question

當θ取遍所有值時，直線x•cosθ+y•sinθ=4+

2

sin(θ+

π

4

)所圍成的圖形面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知，頂點（1，1）到直線的距離為4，所以當θ取遍所有值時，直線x•cosθ+y•sinθ=4+

2

sin(θ+

π

4

)所圍成的圖形為圓心坐標（1，1），半徑為4的圓，所以求出面積即可．

解答：解：設(shè)點A（a，b），則點A得到直線x•cosθ+y•sinθ=4+

2

sin(θ+

π

4

)的距離為d
則d=

|(a-1)cosθ+(b-1)sinθ-4|

sin2θ+cos2θ

，當a=1，b=1時，d=4．根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑得：
這些直線所圍成的圖形為以（1，1）為圓心，4為半徑的圓，所以面積為16π
故答案為16π

點評：考查學生會利用取特值法得到直線所圍成的平面圖形的形狀，掌握直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，靈活運用點到直線的距離公式求值的能力．