Question

過拋物線的焦點作直線與拋物線交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系是（　　）

A．相離

B．相切

C．相交

D．不確定

Answer 1

分析：設拋物線為標準拋物線：y²=2px（p＞0 ），過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M且到準線的距離是d．設P到準線的距離d₁=|PF|，Q到準線的距離d₂=|QF|．結合中位線的定義與拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑，進而得到答案．

解答：解：不妨設拋物線為標準拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側，以X軸為對稱軸．
設過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準線的距離是d．
而P到準線的距離d₁=|PF|，Q到準線的距離d₂=|QF|．
又M到準線的距離d是梯形的中位線，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．
所以圓心M到準線的距離等于半徑，
所以圓與準線是相切．
故選B．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及直線與圓的位置關系的判定．