Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x+π)+

3

cos(2x-

3π

2

)+a（a為常數(shù)，x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值與最小值之和為3，求常數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦余弦公式、周期公式即可得出；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2x+π)+

3

cos(2x-

3π

2

)+a
=-cos2x-

3

sin2x+a
=-2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+a
=-2sin(2x+

π

6

)+a，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．                           
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
∴函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值是-2sin(-

π

6

)+a=1+a，
最小值是-2sin

π

2

+a=-2+a，
∴（1+a）+（-2+a）=3，得a=2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦余弦公式、周期公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．