Question

（2013•寧德模擬）一學生參加市場營銷調查活動，從某商場得到11月份新款家電M的部分銷售資料．資 料顯示：11月2日開始，每天的銷售量比前一天多t臺（t為常數），期間某天由于商 家提高了家電M的價格，從當天起，每天的銷售量比前一天少2臺.11月份前2天 共售出8臺，11月5日的銷售量為18臺．
（I）若商家在11月1日至15日之間未提價，試求這15天家電M的總銷售量．
（II）若11月1日至15日的總銷售量為414臺，試求11月份的哪一天，該商場售出家電M的臺數最多？并求這一天售出的臺數．

Answer 1

分析：（I）由題意，在11月1日至15日之間該商場家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數列{a_n}，結合等差數列的通項公式解出首項a₁和公差t，從而由等差數列求和公式得到這15天家電M的總銷售量．
（II）設從11月1日起，第n天的銷售量最多（1≤n≤30，n∈N^*）．根據（I）前15天的銷售量大于414，可得n＜15；通過假設n=5算出銷售量為120＜414，得n＞5．因此n為大于5而小于15的整數，因此結合題中數據列出S₁₅關于n的式子，解方程S₁₅=414，即可得到n=12，可得在11月12日，該商場售出家電M的臺數最多，這一天的銷售量為46臺．

解答：解：（I）根據題意，商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數列{a_n}，
∵

a1+a2=8 a5=18

，∴

2a1+t=8 a1+4t=18

，解之得

a1=2 t=4

因此，這15天家電M的總銷售量為S₁₅=15×2+

15×14

2

×4=450臺．…（6分）
（II）設從11月1日起，第n天的銷售量最多，1≤n≤30，n∈N^*
由（I），若商家在11月1日至15日之間未提價，則這15天家電M的總銷售量為450臺，
而450＞414不符合題意，故n＜15；
若n=5，則S₁₅=5×2+

5×4

2

×4+10×16+

10×9

2

×(-2)=120＜414，
也不符合題意，故n＞5
因此，前n天每天的銷售量組成一個首項為2，公差為4的等差數列，第n+1天開始每天的銷售量組成首項為4n-4，
公差為-2的等差數列．…（10分）
∴S₁₅=[2n+

n(n-1)

2

×4]+[（15-n）（4n-4）+

(15-n)(14-n)

2

×(-2)]=-3n²+93n-270
由已知條件，得S₁₅=414，即-3n²+93n-270=414
解之得n=12或n=19（舍去19）
∴n=12，出售家電M的臺數為2+11×4=46臺
故在11月12日，該商場售出家電M的臺數最多，這一天的銷售量為46臺．

點評：本題給出商場家電的銷售量成等差數列的模型，求家電M哪一天的銷售量為最多．著重考查了函數、數列的基本知識及其應用能力，考查了函數方程思想和轉化化歸思想的應用，屬于中檔題．