Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x），如果對任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N^*）成立，則稱f（x）為k階縮放函數．
（1）已知函數f（x）為二階縮放函數，且當x∈（1，2]時，f(x)=1+log

1

2

x，求f(2

2

)的值；
（2）已知函數f（x）為二階縮放函數，且當x∈（1，2]時，f(x)=

2x-x2

，求證：函數y=f（x）-x在（1，8）上無零點；
（3）已知函數f（x）為k階縮放函數，且當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1），求f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N）上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據二階縮放函數的定義，直接代入進行求值即可；
（2）根據函數零點的定義和性質判斷函數y=f（x）-x在（1，8）上無零點；
（3）根據k階縮放函數成立的條件建立條件關系即可求出結論．

解答：解：（1）由

2

∈(1， 2]得，f(

2

)=1+log

1

2

2

=

1

2

…（2分）
由題中條件得f(2

2

)=2f(

2

)=2×

1

2

=1…（4分）
（2）當x∈（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（i=0，1，2）時，

x

2i

∈(1，2]，依題意可得：f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2if(

x

2i

)=2i

2• x 2i -( x 2i )2

=

2i+1x-x2

．…（6分）
方程f（x）-x=0?

2i+1x-x2

=x?x=0或x=2ⁱ，0與2ⁱ均不屬于（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（（i=0，1，2））…（8分）
當x∈（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（（i=0，1，2））時，方程f（x）-x=0無實數解．
注意到（1，8）=（2⁰，2¹]∪（2¹，2²]∪（2²，2³），所以函數y=f（x）-x在（1，8）上無零點．…（10分）
（3）當x∈（k^j，k^j+1]，j∈Z時，有

x

kj

∈(1，k]，依題意可得：f(x)=kf(

x

k

)=k2f(

x

k2

)=…=kjf(

x

kj

)
當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1）…（12分）
所以當x∈（k^j，k^j+1]，j∈Z時，f（x）的取值范圍是[0，k^j）．…（14分）
由于（0，kⁿ⁺¹]=（kⁿ，kⁿ⁺¹]∪（k^n-1，kⁿ]∪…∪（k⁰，k]∪（k^-1，k⁰]∪…（16分）
所以函數f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N）上的取值范圍是：[0，kⁿ）∪[0，k^n-1）∪…∪[0，k⁰）∪[0，k^-1）∪…=[0，kⁿ）．…（18分）

點評：本題主要考查新定義的應用，正確理解k階縮放函數的定義是解決本題的關鍵，綜合性強，難度較大．