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設定函數,且方程f′(x)-9x=0的兩個根分別為1,4.
(Ⅰ)當a=3且曲線y=f(x)過原點時,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)無極值點,求a的取值范圍.
【答案】分析:先對函數f(x)進行求導,然后代入f′(x)-9x=0中,再由方程有兩根1、4可得兩等式;
(1)將a的值代入即可求出b,c的值,再由f(0)=0可求d的值,進而確定函數解析式.
(2)f(x)在(-∞,+∞)無極值點即函數f(x)是單調函數,且可判斷是單調增函數,再由導函數大于等于0在R上恒成立可解.
解答:解:由得f′(x)=ax2+2bx+c
因為f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的兩個根分別為1,4,所以(*)
(Ⅰ)當a=3時,又由(*)式得
解得b=-3,c=12
又因為曲線y=f(x)過原點,所以d=0
故f(x)=x3-3x2+12x
(Ⅱ)由于a>0,所以“在(-∞,+∞)內無極值點”等價于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)內恒成立”.
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又△=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
得a∈[1,9]
即a的取值范圍[1,9]
點評:本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系.屬基礎題.
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