Question

若{a_n} 是各項均不為零的等差數列，公差為d，S_n為其前n項和，且滿足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．數列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

 為數列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）是否存在正整數m、n（1＜m＜n），使得T₁、T_m、T_n 成等比數列？若存在，求出所有m、n的值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等差數列的公式以及利用裂項法即可求a_n和T_n；
（Ⅱ）根據等比數列的等比中項的性質，建立方程關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n²=S_2n-1，
∴令n=1，2得a₁=1，d=2，
則a_n=2n-1，b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
則T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+••+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

（Ⅱ）假設存在正整數m、n（1＜m＜n），使得T₁、T_m、T_n 成等比數列，
則T_m²=T₁T_n，
即（

m

2m+1

）²=

1

3

•

n

2n+1

．
得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即2m²-4m-1＜0，解得1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
∵m是正整數且m＞1，
∴m=2，此時n=12當且僅當m=2，n=12時，T₁、T_m、T_n成等比數列．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的應用，利用等差數列和等比數列的通項公式求出數列的通項公式是解決本題的關鍵．