Question

【題目】若存在常數，使得對定義域內的任意，都有成立，則稱函數在其定義域 上是“利普希茲條件函數”．

（1）若函數是“利普希茲條件函數”，求常數的最小值；

（2）判斷函數是否是“利普希茲條件函數”，若是，請證明，若不是，請說明理由；

（3）若是周期為2的“利普希茲條件函數”，證明：對任意的實數,都有．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）不是，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）不妨設，則恒成立． ，從而可得結果；（2）令，則，從而可得函數不是“利普希茲條件函數”； （3）設的最大值為，最小值為，在一個周期，內，利用基本不等式的性質可證明.

試題解析：（1）若函數f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希茲條件函數”，則對于定義域[1，4]上任意兩個x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，

不妨設x1＞x2，則k≥=恒成立．

∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，

∴k的最小值為 ．

（2）f（x）=log2x的定義域為（0，+∞），

令x1=，x2=，則f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，

而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，

∴函數f（x）=log2x 不是“2﹣利普希茲條件函數”．

（3）設f（x）的最大值為M，最小值為m，在一個周期[0，2]內f（a）=M，f（b）=m，

則|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．

若|a﹣b|≤1，顯然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．

若|a﹣b|＞1，不妨設a＞b，則0＜b+2﹣a＜1，

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．

綜上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．