Question

已知a＞b＞0，則橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的關(guān)系是（　　）

A．焦點(diǎn)相同

B．離心率相等

C．離心率互為倒數(shù)

D．有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓、雙曲線的基本概念，對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)分別加以驗(yàn)證，可得兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)有且僅有兩個(gè)：（a，0）和（-a，0），D項(xiàng)正確．而其它三項(xiàng)都可證出是不正確的．

解答：解：對(duì)于A，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為（±

a2-b2

，0），
雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為（±

a2+b2

，0），故它們焦點(diǎn)不同，A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)殡p曲線的離心率必定大于橢圓的離心率，
所以兩個(gè)曲線的離心率不相等，B不正確；
對(duì)于C，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e₁=

a2-b2

a

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率e₂=

a2+b2

a

，可得e₁e₂=

a4-b4

a2

＜1
∴兩個(gè)曲線的離心率不互為倒數(shù)，C不正確
對(duì)于D，聯(lián)解兩條曲線方程，可得它們的公共解為

x=±a y=0

∴兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)有且僅有兩個(gè)：（a，0）和（-a，0）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓方程和雙曲線方程，判斷它們之間的關(guān)系．著重考查了橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．