Question

某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產線，現要通過技術改造來提高該生產線的生產能力，提高產品的增加值，經過市場調查，產品的增加值y萬元與技術改造投入x萬元之間滿足：①y與（a-x）•x²成正比；②當x=時，y=a³，并且技術改造投入滿足∈（0，t]，其中t為常數且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表達式及定義域；
（2）求出產品增加值的最大值及相應x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出函數解析式，利用當x=時，y=a³，并且技術改造投入滿足∈（0，t]，即可確定函數解析式與定義域；
（2）求導函數，確定函數的單調性，即可求出產品增加值的最大值及相應x的值．
解答：解：（1）由題意，設y=f（x）=k（a-x）•x²
∵當x=時，y=a³，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x²
∵∈（0，t]，∴x∈（0，]；
（2）
令f^′（x）=0，∴
當t∈（1，2]時，，
∴，f′（x）＞0時，函數單調遞增；x∈，f′（x）＜0時，函數單調遞減，
∴…（10分）
綜上1≤t≤2時，投入萬元最大增加值萬元 …（12分）
點評：本題的考點是根據實際問題選擇函數類型，主要考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，屬于中檔題．