Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若q∈N^*，是否存在q的某些取值，使數列{a_n}中某一項能表示為另外三項之和？若能求出q的全部取值集合，若不能說明理由．
（3）若q∈R，是否存在q∈[3，+∞），使數列{a_n}中，某一項可以表示為另外三項之和？若存在指出q的一個取值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）n=1時，a₁=S₁=a，
n≥2時，
∵n=1時，a₁=a=aq^1-1也符合
∴，可得，即數列{a_n}是公比為q等比數列．
（2）設存在某一項，它能表示為另外三項之和，即，
則，
易得n₄是n₁、n₂、n₃、n₄中的最大值，不妨設n₄＞n₃＞n₂＞n₁，
兩邊同除以，整理得：
因為左邊能被q整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在．
∴不存在q的某些取值，使數列{a_n}中某一項能表示為另外三項之和
（3）若則
易得n₄是n₁、n₂、n₃、n₄中的最大值，不妨設n₄＞n₃＞n₂＞n₁，
∵q≥3，，
∴不成立．
因此，不存在q∈[3，+∞），使數列{a_n}中，某一項可以表示為另外三項之和．
分析：（1）利用公式a_n=進行討論，然后綜合可得a_n的通項公式，從而證出數列{a_n}是公比為q等比數列．
（2）假設存在滿足條件的一項能表示為另外三項之和，設，經過討論可變形為，根據等式兩邊對q的整除性，可知等式不成立，從而得到不存在滿足條件的q值．
（3）用類似（2）的方法，設，結合{a_n}的通項公式和q≥3，利用不等式的性質證明出恒成立，從而證出等式不成立，從而得到不存在滿足條件的q值．
點評：本題給出等比數列，要我們探索能否存在一項使它等于另外三項的和，著重考查了等比數列的通項公式和不等式的基本性質等知識，屬于中檔題．