Question

（2013•順義區(qū)一模）函數(shù)B₁的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²-2x（x∈R）是單函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=

log2x， x≥2 2-x，  x＜2

是單函數(shù)；
③若y=f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題是

③

（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中“單函數(shù)”的定義，可得函數(shù)f（x）為單函數(shù)時(shí)，對任意x₁≠x₂，均有f（x₁）≠f（x₂）成立，由此舉出反例可判斷①②，根據(jù)定義可判斷③④，進(jìn)而得到答案．

解答：解：①中函數(shù)f（x）=x²-2x（x∈R），當(dāng)x=0或x=2時(shí)，f（x）=0，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)，有x₁≠x₂，不滿足“單函數(shù)”的定義；
②中函數(shù)f（x）=

log2x ，x≥2 2-x，x＜2

，當(dāng)x=0或x=4時(shí)，f（x）=2，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)，有x₁≠x₂，不滿足“單函數(shù)”的定義；
③由“單函數(shù)”的定義可得f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，故其逆否命題：x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）成立，故③為真命題
④中函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，但在整個定義域上有增有減時(shí)，可能會存在x₁≠x₂，使x₁≠x₂，從而不滿足“單函數(shù)”的定義；
綜上真命題只有③
故答案為：③

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了新定義“單函數(shù)”，正確理解“單函數(shù)”的定義是解答的關(guān)鍵．