Question

（2013•薊縣二模）設函數f(x)=sinx+cos(x+

π

6

)，x∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數解析式第二項利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期，根據正弦函數的值域即可求出函數在區間[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）根據第一問確定的解析式，以及f（A）=

3

2

，求出A的度數，再利用正弦定理化簡已知等式求出sinB的值，確定出B的度數，進而確定出C的度數．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
∵ω=1，∴T=2π，
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
則f（x）的值域為[

1

2

，1]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（A）=sin（A+

π

3

），
∴sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

2π

3

，即A=

π

3

，
利用正弦定理化簡a=

3

2

b得：sinA=

3

2

sinB，即sinB=1，
∵B為三角形內角，∴B=

π

2

，
則C=π-（A+B）=

π

6

．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．