Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.

（1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.

 

Answer 1

【答案】

（１）　由由

由

（２）

（３）見解析.

【解析】.

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，那么對(duì)于n令值，邊可以寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；

（2）根據(jù)前幾項(xiàng)歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。或者里利用迭代思想，得到通項(xiàng)公式。

（3）利用放縮法得到求和，并證明不等式。

（１）為了計(jì)算前三項(xiàng)的值，只要在遞推式中，對(duì)取特殊值，就可以消除解題目標(biāo)與題設(shè)條件之間的差異．

　由

由

由

（２）為了求出通項(xiàng)公式，應(yīng)先消除條件式中的．事實(shí)上

當(dāng)時(shí)，有

 

即有　

從而　

　　　

  …… 

接下來，逐步迭代就有

        

經(jīng)驗(yàn)證a₁也滿足上式，故知

其實(shí)，將關(guān)系式和課本習(xí)題作聯(lián)系，容易想到：這種差異的消除，只要對(duì)的兩邊同除以，便得

　　　　　　　　　．

令就有

，

于是         ，

這說明數(shù)列是等比數(shù)列，公比　首項(xiàng)，從而，得

　　　　　，

即　　　　，

   故有

（３）由通項(xiàng)公式得

當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)， 

                                

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為上面的情景

故任意整數(shù)m>4，有