Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線(xiàn)相切．

（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）為橢圓上不同的三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，試問(wèn)：的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）是定值，定值為

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意利用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑相等列出關(guān)于的關(guān)系,再根據(jù)一個(gè)焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形可得,再聯(lián)立求解即可.

（Ⅱ）分當(dāng)斜率不存在與存在兩種情況.當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn),再聯(lián)立方程寫(xiě)出韋達(dá)定理,再根據(jù)得出關(guān)于,的關(guān)系,代入化簡(jiǎn)可得，再求出面積的表達(dá)式,代入化簡(jiǎn)證明即可.

（Ⅰ）由題意知,

解得.則橢圓C的方程是：

（Ⅱ）①當(dāng)斜率不存在時(shí),不妨設(shè),,

②設(shè)由

設(shè),,則,.

由 ,代入有,化簡(jiǎn)可得

原點(diǎn)到的距離,

故

綜上：的面積為定值