Question

（2008•南匯區一模）已知函數f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

，分別計算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，并概括出涉及函數f（x）和g（x）的對所有不等于零的實數x都成立的一個等式：

f（x²）-5f（x）g（x）=0

．

Answer 1

分析：由已知中函數f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

，代入可得f（4）-5f（2）g（2）=f（2²）-5f（2）g（2）=0，f（9）-5f（3）g（3）=f（3²）-5f（3）g（3）=0，分析前后各項中自變量值的關系，即可推斷出一個涉及函數f（x）和g（x）的對所有不等于零的實數x都成立的一個等式．

解答：解：由已知中函數f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

，
∴f（4）-5f（2）g（2）
=f（2²）-5f（2）g（2）
=

2 2 3 -2- 2 3

5

-5•

2 1 3 -2- 1 3

5

•

2 1 3 +2- 1 3

5

=

2 2 3 -2- 2 3

5

-

2 2 3 -2- 2 3

5

=0
f（9）-5f（3）g（3）
=f（3²）-5f（3）g（3）
=

3 2 3 -3- 2 3

5

-5•

3 1 3 -3- 1 3

5

•

3 1 3 +3- 1 3

5

=

3 2 3 -3- 2 3

5

-

3 2 3 -3- 2 3

5

=0
由此可推斷f（x²）-5f（x）g（x）=0
故答案為：f（x²）-5f（x）g（x）=0

點評：本題考查的知識點是函數的值，歸納推理，其中根據已知條件計算f（4）-5f（2）g（2）=f（2²）-5f（2）g（2）=0，f（9）-5f（3）g（3）=f（3²）-5f（3）g（3）=0，并分析前后各項中自變量值的關系，判斷出其中的變化規律是解答本題的關鍵．