Question

已知函數f（x）=x³+ax²+x-1．
（Ⅰ）當a=-2時，求函數f（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）先求出函數的導數，令導數等于0求出導數的零點，再令導數大于0求出單調增區間，導數小于0求出函數的減區間，再由極值的定義，導數零點左增右減為極大值點，左減右增為極小值點，求出相應極值即可；
（II）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，因為在函數式中含字母系數a，要對a的取值進行分類討論．

解答：解：（I）當a=-2時，f（x）=x³-2x²+x-1，f′（x）=3x²-4x+1，令f′（x）=0，解得x₁=-3，x₂=1，
當f′（x）＞0時，x＜

1

3

或x＞1；當f′（x）＜0時，

1

3

＜x＜1
當x變化時，x與f′（x）、f（x）的變化情況如下：

x	(-∞， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	- 23 27	↘	-1	↗

所以當x=

1

3

時，f（x）有極大值-

23

27

；當x=1時，f（x）有極小值-1．
（II）f′（x）=3x²+2ax+1
當-

3

≤a≤

3

時，函數f（x）=x³+ax²+x-1的單調遞增區間為R；
當a＜-

3

或

3

＜a時，函數f（x）=x³+ax²+x-1的單調遞增區間為(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)，單調遞減區間為(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，要會根據函數的增減性得到函數的極值，本題還涉及了利用導數研究函數的單調性等知識，考查運算求解能力．要求會根據導函數的正負判斷得到函數的單調區間，對含有字母參數的問題能夠運用分類討論的思想方法．屬中檔題．