Question

如圖，橢圓的兩頂點為，B（0，1），該橢圓的左右焦點分別是F₁，F₂．
（1）在線段AB上是否存在點C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）設過F₁的直線交橢圓于P，Q兩點，求△PQF₂面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的方程求得a和b，c，進而求得焦點的坐標，表示出假設存在點C，使CF₁⊥CF₂，求得|OC|，令，利用求得λ的方程，解方程求得λ．
（2）設出P，Q的坐標，通過焦半徑公式求得|PQ|的表達式，先看PQ⊥x軸時，則可求得x₁=x₂=-1進而求得△PQF₂面積；再看PQ與x軸不垂直時，設出PQ的方程，由點到直線的距離公式可得點F₂到PQ的距離表示出△PQF₂面積的表達式，利用基本不等式求得△PQF₂面積的范圍，最后綜合推斷出△PQF₂面積的最大值．
解答：解：由已知可得橢圓的方程為，
且有：，F₁（-1，0），
F₂（1，0），．
（1）假設存在點C，使得CF₁⊥CF₂，
則：，
令（λ∈[0，1]），
而=
，
故有：，解得λ=1或．
所以點C的坐標為C（0，1）或．

（2）若設過F₁的直線l交橢圓于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由焦半徑公式可得：，
當PQ⊥x軸時，x₁=x₂=-1，此時．
當PQ與x軸不垂直時，不妨設直線PQ的方程為y=k（x+1），（k＞0），
則由：得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，故，
于是可得：．
又由點到直線的距離公式可得點F₂到PQ的距離，
故．
因為，
所以．
綜上可知，當直線PQ⊥x軸時，△PQF₂的面積取到最大值．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了運用解析幾何的基礎知識解決實際問題的能力．