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在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的取值范圍.
分析:(Ⅰ)△ABC中,由已知,根據(jù)正弦定理得 a2=b2+c2+bc,再由余弦定理求得cosA=-
1
2
,A=120°.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC=sin(B+60°),根據(jù)60°<B+60°<120,求得
3
2
<sin(B+60°)≤1,從而求得sinB+sinC的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)△ABC中,由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 
  a2=b2+c2-2bc•cosA,故  cosA=-
1
2
,∴A=120°.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=
3
2
cosB+
1
2
sinB=sin(B+60°).
因?yàn)?0°<B<60°,所以,60°<B+60°<120,∴
3
2
<sin(B+60°)≤1,
故 sinB+sinC的取值范圍是 (
3
2
,1].
點(diǎn)評:本題主要考查正弦定理、余弦定理,兩角和差的正公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是( 。
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2

③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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