Question

在直角坐標系XOY中，已知點A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，-1），動點M滿足

AM

•

BM

=m（

CM

•

DM

-|

OA

-

OM

|），其中m是參數（m∈R）
（I）求動點M的軌跡方程，并根據m的取值討論方程所表示的曲線類型；
（II）當動點M的軌跡表示橢圓或雙曲線，且曲線與直線l：y=x+2交于不同的兩點時，求該曲線的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設M（x，y），利用題目中向量的坐標運算，求得向量的坐標后代入題中向量條件，化簡即得軌跡方程，為了說明它是什么類型，必須對參數m進行討論；
（II）將直線的方程代入圓錐曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根的判別式求得m的范圍，再分類討論：（1）m＞1且m≠2時，（2）當m＜-2時，分別求出該圓錐曲線的離心率e的取值范圍即可．

解答：解：（I）設動點M的坐標為（x，y）
由題意得

AM

=（x-1，y），

BM

=（x+1，y）

CM

=（x，y-1），

DM

=（x，y+1），

OM

=（x，y）
∴

AM

•

BM

=x²-1+y²，

CM

•

DM

-|

OA

-

OM

|2=x²+y²-1=y²-1
化簡得動點M的軌跡方程為x²+（1-m）y²=1-m
當m=1時，x²=0，即x=0，動點M的軌跡是一條直線；
當m≠1時，方程可以化為：

x2

1-m

+y2=1
此時，當m=0時，動點M的軌跡是一個圓；
當m＜0，或0＜m＜1時，動點M的軌跡是一個橢圓
當m＞1時，動點M的軌跡是一條雙曲線
（II）當m≠1且m≠0時，由

y=x+2 x2 1-m +y2=1

得x²+（1-m）（x²+4x+4）=1-m∴（2-m）x²+4（1-m）x+3（1-m）=0
∵l與該圓錐曲線交于不同的兩個點∴

2-m≠0 △=16(1-m)2-4(2-m)•3(1-m)＞0

即

m≠2 (m-1)(m+2)＞0

∴m＞1且m≠2或m＜-2
（1）m＞1且m≠2時，圓錐曲線表示雙曲線y2-

x2

m-1

=1
其中，a²=1，b²=m-1，c²=m∴e=

c

a

=

m

＞1且e≠

2

（2）當m＜-2時，該圓錐曲線表示橢圓：

x2

1-m

+y2=1
其中a²=1-m，b²=1，c²=-m∵e2=

c2

a2

=

-m

1-m

=1+

1

m-1

，e2∈(

2

3

，1)∴e∈(

6

3

，1)
綜上：該圓錐曲線的離心率e的取值范圍是(

6

3

，1)∪(1，

2

)∪(

2

，+∞)．

點評：本題主要考查了軌跡方程的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題、向量的坐標運算，考查分類討論思想以及等價轉化能力．