Question

求由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分割 　　在區間[1，2]等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區間：[1，]，[]，…，[，2]，記第i個區間為[](i＝1，2，…，n)，其長度為Δx＝． 　　分別過上述n－1個點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如圖151)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn． 　　則小曲邊梯形面積的和為S＝． 　　(2)近似代替 　　記f(x)＝，當n很大，即Δx很小時，在區間[]上，可以認為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數，不妨認為它等于f()．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區間[]上，用小矩形面積Δ近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內“以直代曲”，則有ΔSi≈Δ＝f()Δx＝(i＝1，2，…，n)． 　　(3)求和 　　小曲邊梯形的面積和Sn＝≈ 　�。� 　　 　　從而得到S的近似值S≈Sn＝． 　　(4)逼近 　　分別將區間[1，2]等分成8，16，20，…等份時，Sn越來越趨向于S，當n趨向于＋∞時，Sn無限趨近于． 　　由此可知圖形面積為． 　　思路分析：利用求曲邊梯形面積的步驟求解．

提示：

本題主要考查曲邊梯形面積的求解方法．用分割、近似代替、求和、取極限這四個步驟可以求曲邊多邊形的面積，它體現了一種化整(分割)為零，積零為整(逼近)的思想方法．