Question

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù)．
（Ⅰ） 求k的值；
（Ⅱ） 若方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），代入整理可求k
（II）依題意知：log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a2x-a)（*）⇒

4x+1=(a•2x-a)•2x (a•2x-a)＞0

令t=2^x則*變?yōu)椋?-a）t²+at+1=0只需其有一正根，根據(jù)二次方程的根的性質(zhì)可求a的范圍

解答：解：（I）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x）
∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx
整理可得（2k+1）x=0
∴k=-

1

2

（II）依題意知：log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a2x-a)（*）
⇒

4x+1=(a•2x-a)•2x (a•2x-a)＞0

令t=2^x則*變?yōu)椋?-a）t²+at+1=0只需其有一正根．
（1）a=1，t=-1不合題意
（2）（*）式有一正一負(fù)根

△=a2-4(1-a)＞0 t1t2= 1 1-a ＜0

經(jīng)驗(yàn)證滿足a•2^x-a＞0∴a＞1
（3）兩相等△=0⇒a=±2

2

-2
經(jīng)驗(yàn)證a•2^x-a＞0
∴a=-2-2

2

綜上所述a＞1或a=-2-2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，二次方程的根的分布問題，要注意方程有一個(gè)正根與方程只要一個(gè)根是完全不同的概念．