Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當x=1時，f（x）取得極值-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中條件：“R上的奇函數(shù)”，得d=0，利用導數(shù)列出方程，即可求得參數(shù)得函數(shù)解析式；
（2）由f'（x）=3x²-3求得零點，利用導數(shù)的知識求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）欲求函數(shù)的最大值與最小值，通過列表格的方法研究原函數(shù)的單調(diào)性及在端點處和極值處的函數(shù)值的大小．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）是R上的奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x），（1分）
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，所以d=0．
因此f（x）=ax³+cx．（2分）
對函數(shù)f（x）求導數(shù)，得f'（x）=3ax²+c．（3分）
由題意得f（1）=-2，f'（1）=0，（4分）
所以（5分）
解得a=1，c=-3，
因此f（x）=x³-3x．（6分）

（Ⅱ）f'（x）=3x²-3．（7分）
令3x²-3＞0，解得x＜-1或x＞1，
因此，當x∈（-∞，-1）時，f（x）是增函數(shù)；當x∈（1，+∞）時，f（x）也是增函數(shù)．（8分）
再令3x²-3＜0，解得-1＜x＜1．
因此，當x∈（-1，1）時，f（x）是減函數(shù)．（9分）

（Ⅲ）令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=1．
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化如下表．

從上表可知，f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值是18，最小值是-18．（13分）
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．