Question

求證:任何一個實系數一元三次方程a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃=0(a₀,a₁,a₂,a₃∈R,a₀≠0)至少有一個實數根.

Answer 1

證明略

解析:

設f(x)=a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃,函數f(x)在(－∞,+∞)連續，

且x→+∞時，f(x)→+∞;x→－∞時，f(x)→－∞,

所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,

所以f(x)的圖像至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實根.