Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，對角線AC，BD的交點為O，△ABF和△DEC為等邊三角形，棱EF∥BC，EF=

1

2

BC，AB=1，BC=2，M為EF的中點，
①求證：OM⊥平面ABCD；
②求二面角E-CD-A的大小；
③求點A到平面CDE的距離．

Answer 1

分析：（1）取AB，CD的中點為P，Q．連接PQ，EQ，FP．說明EFPQ為等腰梯形．證明CD⊥平面EFPQ推出CD⊥MO，又CD和PQ相交，即可證明MO⊥面ABCD
（2）由（1）可知∠EQP為二面角E-CD-A的平面角，通過cos∠EQP=

NQ

EQ

=

3

3

即可．
（3）因為AB∥平面CDE所以P點到平面CDE的距離等于A點到平面CDE的距離．過點P作PH⊥EQ于點H，說明PH的長為點P到平面CDE的距離．由cos?EQP=

3

3

，求出PH=PQsin∠EQP=

2 6

3

．

解答：（1）證明：取AB，CD的中點為P，Q．連接PQ，EQ，FP．則P，O，Q三點共線
且PQ∥BC又因為EF∥BC所以有EF∥PQ且FP=EQ．所以EFPQ為等腰梯形．
所以有MO⊥PQ，CD⊥EQ CD⊥PQ，PQ∩CQ=Q
所以CD⊥平面EFPQ
所以CD⊥MO，又CD和PQ相交，
所以有MO⊥面ABCD
解：（2）由（1）可知∠EQP為二面角E-CD-A的平面角
過E點作EN⊥PQ于點N，則N為OQ的中點．
cos∠EQP=

NQ

EQ

=

3

3

（3）因為AB∥平面CDE所以P點到平面CDE的距離等于A點到平面CDE的距離．過
點P作PH⊥EQ于點H，則PH^CD，又CD交EQ于Q．所以PH⊥平面CDE．
所以PH的長為點P到平面CDE的距離．
由cos?EQP=

3

3

得 sin∠EQP=

6

3

，PH=PQsin∠EQP=

2 6

3

點評：本題是中檔題，考查直線與平面的垂直，空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力