【題目】已知點P(1,m)在拋物線C:y2=2Px(P>0)上,F為焦點,且|PF|=3.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點T(4,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,O為坐標原點.
(ⅰ)求 的值;
(ⅱ)若以A為圓心,|AT|為半徑的圓與y軸交于M,N兩點,求△MNF的面積.
【答案】
(1)解:拋物線C:y2=2px(p>0),
∴焦點F( ).…(1分)
由拋物線定義得:|PF|=1+ =3,
解得p=4,
∴拋物線C的方程為y2=8x.
(2)解:(i)依題意可設過點T(4,0)的直線l的方程為x=ty+4,
由 ,得y2﹣8ty﹣32=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=8t,y1y2=﹣32,
∴ ,
∴ =
+
=16﹣32=﹣16.
(ii)設A(x1,y1),M(0,yM),N(0,yN),則 ,①
以A為圓心,|AT|為半徑的圓的方程為 ,
令x=0,則 +(y﹣y1)2=(4﹣x1)2+
,②
把①代入②得(y﹣y1)2=16,
∴y=y1+4或y=y1﹣4,
∴|MN|=|yM﹣yN|=8,
∴S△MNF= |MN||OF|=
=8.
【解析】(1)由拋物線定義得:|PF|=1+ =3,由此能求出拋物線C的方程.(2)(i)依題意設過點T(4,0)的直線l的方程為x=ty+4,由
,得y2﹣8ty﹣32=0,由此利用韋達定理能求出
=﹣16.(ii)設A(x1 , y1),M(0,yM),N(0,yN),則
,以A為圓心,|AT|為半徑的圓的方程為
,由此能求出△MNF的面積.
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【題目】我校要從參加數學競賽的1000名學生中,隨機抽取50名學生的成績進行分析,現將參加數學競賽的1000名學生編號如下000,001,002,…,999,如果在第一組隨機抽取的一個號碼為015,則抽取的第40個號碼為 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知點A的極坐標為( ,
),直線l的極坐標方程為ρcos(θ﹣
)=a,且點A在直線l上.
(1)求a的值及直線l的直角坐標方程;
(2)若圓C的參數方程為 (α為參數),試判斷直線l與圓C的位置關系.
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【題目】
設函數
(Ⅰ)若是函數
的極值點,1和
是
的兩個不同零點,且
且,求
的值;
(Ⅱ)若對任意, 都存在
(
為自然對數的底數),使得
成立,求實數的取值范圍.
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【題目】為了解高三年級學生寒假期間的學習情況,某學校抽取了甲、乙兩班作為對象,調查這兩個班的學生在寒假期間平均每天學習的時間(單位:小時),統計結果繪成頻率分布直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學生人數相同,甲班學生平均每天學習時間在區間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學生平均每天學習時間在區間
的人數;
(II)從甲、乙兩個班平均每天學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試,設4人中甲班學生的人數為,求
的分布列和數學期望.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 (t為參數).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=2.
(1)若點M的直角坐標為(2, ),直線l與曲線C1交于A、B兩點,求|MA|+|MB|的值.
(2)設曲線C1經過伸縮變換 得到曲線C2 , 求曲線C2的內接矩形周長的最大值.
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