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【題目】已知點P(1,m)在拋物線C:y2=2Px(P>0)上,F為焦點,且|PF|=3.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點T(4,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,O為坐標原點.
(ⅰ)求 的值;
(ⅱ)若以A為圓心,|AT|為半徑的圓與y軸交于M,N兩點,求△MNF的面積.

【答案】
(1)解:拋物線C:y2=2px(p>0),

∴焦點F( ).…(1分)

由拋物線定義得:|PF|=1+ =3,

解得p=4,

∴拋物線C的方程為y2=8x.


(2)解:(i)依題意可設過點T(4,0)的直線l的方程為x=ty+4,

,得y2﹣8ty﹣32=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則y1+y2=8t,y1y2=﹣32,

= + =16﹣32=﹣16.

(ii)設A(x1,y1),M(0,yM),N(0,yN),則 ,①

以A為圓心,|AT|為半徑的圓的方程為

令x=0,則 +(y﹣y12=(4﹣x12+ ,②

把①代入②得(y﹣y12=16,

∴y=y1+4或y=y1﹣4,

∴|MN|=|yM﹣yN|=8,

∴SMNF= |MN||OF|= =8.


【解析】(1)由拋物線定義得:|PF|=1+ =3,由此能求出拋物線C的方程.(2)(i)依題意設過點T(4,0)的直線l的方程為x=ty+4,由 ,得y2﹣8ty﹣32=0,由此利用韋達定理能求出 =﹣16.(ii)設A(x1 , y1),M(0,yM),N(0,yN),則 ,以A為圓心,|AT|為半徑的圓的方程為 ,由此能求出△MNF的面積.

練習冊系列答案
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