Question

已知向量

m

=(cos

x

2

，cos

x

2

)，

n

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，且x∈[0，π]，令函數f(x)=2a

m

•

n

+b
①當a=1時，求f（x）的遞增區間；
②當a＜0時，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析：①由已知中向量

m

=(cos

x

2

，cos

x

2

)，

n

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，且x∈[0，π]，函數f(x)=2a

m

•

n

+b，根據向量的數量積運算公式，我們易求出函數的解析式，并根據除冪公式，輔助角公式，可將函數的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數的性質，得到f（x）的遞增區間
②由a＜0時，f（x）的值域是[3，4]，我們可以根據正弦型函數最值與A，B參數的關系，構造出關于a，b的方程組，解方程組即可得到a，b的值．

解答：解：①

m

•

n

=cos2

x

2

+sin

x

2

•cos

x

2

=

1+cosx

2

+

1

2

sinx（2分）
∴f（x）=a（sinx+cosx）+a+b=

2

asin(x+

π

4

)+a+b（4分）
當a=1時，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)+b+1（5分）
∵x∈[0，π]∴x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
由

π

4

≤x+

π

4

≤

π

2

得：0≤x≤

π

4

∴f(x)的遞增區間是[0，

π

4

]（6分）
②當a＜0時，f（x）=

2

asin(x+

π

4

)+a+b
易知sin(x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]∴f(x)∈[(

2

+1)a+b，b]（8分）
則

( 2 +1)a+b=3 b=4

∴

a=1- 2 b=4

（12分）

點評：本題考查的知識點是正弦函數的單調性，數量積的坐標表達式，三角函數中的恒等變換，正弦函數的定義域與值域，其中根據已知條件求出函數的解析式，及熟練掌握正弦型函數的性質是解答本題的關鍵．