Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如數表：記表中的第一列數a₁，a₂，a₄，
a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足bn=

Sn2

Sn-2

(n≥2)．
（1）證明：

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當a94=-

9

105

時，求上表中第k（k≥3）行所有項的和．

Answer 1

分析：（1）由題意所給的已知等式特點應考慮應用已知數列的前n項和求其通項這一公式來尋求出路，得到S_n與S、S_n-1之間的遞推關系，即可證明所證結果；
（2）利用（1）得到的關系式，先求出S_n的通項公式，即可利用b_n=S_n-S_n-1，求{b_n}的通項公式；
（3）由題意第一列數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通項公式和a₈₁的值，應該現有規律判斷這一向位于圖示中的具體位置，有從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數進而求解．

解答：解：（1）證明：由已知，bn=

Sn2

Sn-2

(n≥2)，所以，當n≥2時，

2bn

bnSn- S 2 n

=1，
又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn- S 2 n

=1⇒

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
（2）因為S₁=b₁=a₁=1．所以數列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，⇒Sn=

2

n+1

．
所以當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
因此bn=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

（3）設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．
因為1+2+…+12+13=

14×13

2

=91，
所以表中第1行至第13行共含有數列{a_n}的前91項，故a₉₄在表中第14行第三列，
因此a94=b14•q2=-

9

105

．又b14=-

2

14×15

，所以q=3．
記表中第k（k≥3）行所有項的和為S，
則S=

bk(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-3k)

1-3

=

1

k(k+1)

(1-3k)(k≥3)．

點評：本題重點考查了數列中的已知前n項的和，求解通項公式，還考查了等差數的定義，考查了由題意及圖形準確找規律，還考查了等比數列的通向公式及有數列通向求其所有項和，同時還考查了方程的思想．